相似和圆结合模型「对角互补模型口诀」

构造全等相似或借助辅助圆，轻松解决对角互补模型

所谓对角互补问题，一般出现在四边形中，那对于这种问题我们怎么解决呢？那就是通过作辅助线得到全等三角形或相似三角形的结论，也可以借助辅助圆。常做的辅助线是做两边的垂线或用截长补短法构造全等或相似。接下来我们一起来看一下常考的模型及解题方法。

模型一01

模型一02

模型一03

这两种方法你学会了吗？如果学会了请看下面的几种模型，并自己动手证一下下面的结论。

（2）全等型-120°

【条件】：①∠AOB=2∠FCE=120°；②OC平分∠AOB

【结论】：①CF=CE；②OF OE=OC；③S△COD S△COE等于四分之根号3倍的OC的平方

（3）全等型-任意角ɑ

【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；

【结论】：①OC平分∠AOB；②OD OE=2OC·cosɑ；

③S△COD S△COE等于OC的平方乘以sina再乘以cosɑ

※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：

原结论变成：

①

②

③

(自己动手做）

如图

模型四

本节课讲的是做题方法，不是让你结论，你只需要掌握这种做题方法即可，对角互补模型常做的辅助线是做两边的垂线或用截长补短法构造全等相似或借助辅助圆。我们一起来看一下对角互补模型.

练习题

1.如图示：一副三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、BC的交点为G、H

(1)当三角板DEF旋转至图1所示时，你能发现线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论。

(2)若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围。

(3)当三角板DEF旋转至图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时,(1)中的结论仍然成立吗？并说明理

题目图

答案图02

2.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BOE；③四边形ODBE的面积始终等于三分之四倍的根号3；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是（ ）

​A.1 B.2 C.3 D.4

3.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,,且∠MPNM与∠AOB互补,若∠MPN∠在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于MM、N两点,则以下结论：(1)PM=PM恒成立;(2)OM ON的值不变(3)四边形PMON的面积不变(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )个

A.4 B.3 C.2 D. 1

第2-3题图

第2题答案图01

第2题答案图02

第2题答案图03

第3题答案

4.已知：△ABC是等边三角形，∠1 ∠2=120°，求证：∠1=∠2=60°

5.已知：△ABC是等边三角形，∠1=60°，求证：∠2=60°.

第4-5题图

分析：可借助四点共圆来证更简单。

学习是个不断思考不断总结的过程，希望同学们在以后的学习中善于思考善于总结，每天都在进步。