中考数学压轴题破解策略「中考压轴题数学解题技巧视频」

很多同学说在解答数学压轴题的时候，会感到压力很大，找不到解题思路。

不同类型的压轴题所对应的解题思想也存在很大的差异。

今天小万万就来给同学们详细讲讲如何破译中考数学压轴题，帮助大家在考场中从容应对各种类型的压轴题，争取拿到关键的分数！

分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，以下几点是需要大家注意分类讨论的：

1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。

2、讨论点的位置一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。

3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论。

4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍。

5、考查点的取值情况或范围。这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围。

6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。

7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后（比如从一条线段移动到另一条线段）时，所写的函数应该进行分段讨论。

值得注意的是：在列出所有需要讨论的可能性之后，要仔细审查是否每种可能性都会存在，是否有需要舍去的。

最常见的就是一元二次方程如果有两个不等实根，那么我们就要看看是不是这两个根都能保留。

切入点一：做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

切入点二：构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的，几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

切入点三：紧扣不变量

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。

切入点四：在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。

1、定位准确防止 “捡芝麻丢西瓜”

在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。

2、解数学压轴题做一问是一问

第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切记不可轻易放弃第二小问。

过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，字迹要工整，布局要合理；

尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。

纵观全国各地的中考数学试卷，数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。

（一）函数型综合题

是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有：

①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；

②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；

③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。

【真题实战】

（2018•河南）如图，抛物线y=ax² 6x c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案解析】

解：（1）当x=0时，y=x-5=-5，则C（0，-5），

当y=0时，x-5=0，解得x=5，则B（5，0），

把B（5，0），C（0，-5）代入

y=ax² 6x c得

25a 30 c=0，c=-5，

解得a=-1，b=-5，

∴抛物线解析式为y=-x² 6x﹣5；

（2）①解方程﹣x² 6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0），

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=√2/2AB=√2/2×4=2√2，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2√2，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=√2PQ=√2×2√2=4，

设P（m，﹣m² 6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m² 6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m² 5m=4，解得m1=1，M2=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m-5-（-m² 6m-5）=m²-5m=4，解得m1=(5 √41)/2，m2=(5-√41)/2，

综上所述，P点的横坐标为4或(5 √41)/2或(5-√41)/2；

②

【方法一】

如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点G作CH⊥AB，垂足为H，

设BH=x，则GH=BH=x，AH=4-x，

易得△AOC∽△GHA，

所以HG/OA=AH/CO，

x/1=(4-x)/5，

解得x=2/3，

所以AH=10/3，OH=13/3，

点G的坐标为（13/3，-2/3）

当M为CG中点时，∠AMB=2∠ACB，

利用中点坐标公式得，

点M1的横坐标为（0 13/3）/2=13/6，

点M1的纵坐标为（-5-2/3）/2=-17/6，

所以当点M的坐标为（13/6，-17/6）时满足题意，

如上图，由题①得，当AM⊥BC时，点M的坐标为（3，-2），

若M1和M2关于点M对称，则易得AM1=AM2，此时∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

根据中点坐标得，

点M2的横坐标为3×2-13/6=23/6，

点M2的纵坐标为-2×2-（-17/6）=-7/6，

所以当点M的坐标为（23/6，﹣7/6）时也满足题意，

综上所述，点M的坐标为（13/6，﹣17/6）或（23/6，﹣7/6）。

【方法二】

作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，

∵M1A=M1C，

∴∠ACM1=∠CAM1，

∴∠AM1B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），

易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1/2，﹣5/2），

设直线EM1的解析式为y=﹣1/5x b，

把E（1/2，﹣5/2）代入得﹣1/10 b=﹣5/2，解得b=﹣12/5，

∴直线EM1的解析式为y=﹣1/5x﹣12/5，

解方程组y=x-5，y=-1/5 x-12/5得

x=13/6，y=-17/6，则M1（13/6，﹣17/6）；

作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，

设M2（x，x﹣5），

∵3=(13/6 x)/2，

∴x=23/6，

∴M2（23/6，﹣7/6），

综上所述，点M的坐标为（13/6，﹣17/6）或（23/6，﹣7/6）。

【总结】

题（2）①是典型的平行四边形存在性问题中的两定两动型，一边平行，只要保证长度相等即可得到结论。

本题略有难度，一般情况下，题目给的条件都是两个定点组成的线段与x轴或y轴平行。但是本题却是斜的线段，所以需要进行适当的转化才好求。因为BC与x轴的夹角为45°，所以很容易得到等腰直角三角形进行转化。

题（3）是比较典型的热点问题，最近几年经常会考到类似角度2倍关系的问题。

2倍就容易想到构造等腰三角形的外角，进而可以联想到直角三角形斜边的中线。构造直角三角形，就可以想到利用三垂直相似。那么结论就比较容易得到了，再利用高中的中点坐标公式求出即可。

当然，本题用高中的二倍角公式也可以求得。

如图，若点D是Rt△ABC斜边的中点，

则∠BDC=2∠A=2∠ACD，

∠ADC=2∠B=2∠BCD。

（本题解析来自“中考数学压轴题”）

（二）几何型综合题

先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化。

求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：

在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等；

探索两个三角形满足什么条件相似等；

探究线段之间的位置关系等；

探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。

求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。

一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。

找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。

而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。

在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质的提高。

【真题实战】

（2018安徽）23. 如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.

(1)求证：CM＝EM；

(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；

(3)如图②，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM.

第23题图

【答案解析】

第23题解图

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